شرح تفصيلي عن المتجهات

نظرة عامة حول مفهوم المتجهات

تعرف المتجهات (بالإنجليزية: Vectors) من الناحية الفيزيائية بكونها قيماً تمتلك مقدارًا واتجاهاً، ويتم التعبير عنها عادة بسهم يمتلك اتجاهًا مماثلًا لاتجاه الكمية، ويكون طول السهم متناسبًا مع حجم الكمية، وعلى الرغم من أن المتجه له مقدار واتجاه، إلا أنه يفتقر لامتلاك موضع، والذي يعني بأنه طالما لم يتم تغيير طوله، فإنه لن يتم تغيير المتجه عند إزاحته بالتوازي مع نفسه، ومن الأمثلة على المتجهات أو الكميات المتجهة؛ الإزاحة، والسرعة، والتسارع، والقوة،^[١] وتعرف نقطة بداية المتجه بكونها النقطة الأولية، أما نقطة نهاية المتجه، فتعرف بالنقطة النهائية، كما تسمى المسافة بين النقطتين الأولية والنهائية للمتجه بحجم أو طول المتجه.^[٢]

أنواع المتجهات

يوجد 10 أنواع من المتجهات، وجميع هذه الأنواع مهمة للغاية، وتستخدم في موضوعات علمية ذات مستوى عالٍ، ويمكن تلخيصها بشكل بسيط ومختصر كالآتي:^[٣]

• المتجه الصفري (Zero Vector): هو المتجه الذي يكون حجمه صفر، وتتزامن نقطة البداية فيه مع نقطة النهاية أي أنهما تمتلكان نفس الإحداثيات، ويشار إلى هذا النوع من المتجه بالرمز 0.
• متجه الوحدة (Unit Vector): هو المتجه الذي يكون طوله مساويًا لوحدة واحدة، ويرمز له بالرمز x̂ باتجاه المتجه ومقداره يساوي 1 دائمًا.
• متجه الموضع (Position Vector): يشير متجه الموضع بشكل مبسط إلى موضع أو موقع نقطة فيما يتعلق بالأصل المرجعي في النظام ثلاثي الأبعاد (الديكارتي).
• المتجهات الأولية المشتركة (Co-initial Vectors): وهي المتجهات التي تمتلك نفس نقطة البداية.
• المتجهات المتشابهة والغير متشابهة (Like and Unlike Vectors): وتعرف المتجهات المتشابهة بكونها المتجهات التي تمتلك نفس الاتجاه؛ على عكس المتجهات الغير متشابهة، والتي تمتلك اتجاهات مختلفة عن بعضها البعض.
• المتجهات متحدة المستوى (Co-planar Vectors): وهي الثلاثة متجهات أو أكثر، والتي تقع في مستوى واحد أو الموازية لنفس المستوى.
• المتجهات الخطية (Collinear Vectors): وهي المتجهات الواقعة على نفس الخط أو الخطوط المتوازية، ويعرف هذا النوع من المتجهات باسم المتجهات المتوازية أيضاً.
• المتجهات المتساوية (Equal Vectors): وهي المتجهات في حجمها واتجاهها، ويمكن أن يتاوى متجهين اثنين أو أكثر.
• متجه الإزاحة (Displacement Vector): وهو المتجه الناتج عن إزاحة نقطة من موضع إلى موضع آخر.
• سالب المتجه (Negative of a Vector): وهو المتجه الذي يكون مساويًا لمتجه آخر في الحجم، ومعاكس لنفس المتجه في الاتجاه، ومن الجدير بالذكر بأن كلا المتجهين يكونان سالبين لبعضهما البعض.

اصطلاحات وصف اتجاهات المتجهات

يتم توجيه المتجهات عادةً بأحد الاتجاهات الأربعة المتعارف عليها، وهي: الشرق، والغرب، والشمال، والجنوب، ولكن في بعض الأحيان يتم توجيهها باتجاه مختلف كليًا كالاتجاه الشمال الشرقي (بزاوية 45 درجة)، ويمكن أيضًا توجيه المتجه نحو الشمال الشرقي، ولكنه يتجه إلى الشمال أكثر من الشرق، وهنا تبرز أهمية المصطلحات المستخدمة لوصف الاتجاه الخاص بالمتجهات، ويمكن تلخيص القواعد التي تمتثل إليها هذه المصطلحات كالآتي:^[٤]

• التعبير عن اتجاه المتجه كزاوية دوران المتجه حول ذيله من أحد الاتجاهات الرئيسية الأربعة، ويمكن توضيح النقطة من خلال طرح مثال؛ فمثلاً يمكن القول أن المتجه يمتلك اتجاه 40 درجة شمال الغرب، وهذا يعني أن المتجه الذي يشير إلى الغرب قد تم تدويره 40 درجة باتجاه الشمال، ومن 65 درجة شرقًا للجنوب بمعنى أنه تم تدوير متجه كان يشير إلى الجنوب بمقدار 65 درجة باتجاه الشرق.
• يعبر عن اتجاه المتجه عادةً باستخدام زاوية عكس عقارب الساعة لدوران المتجه حول ذيله من الشرق المناسب، ويمكن توضيح النقطة من خلال طرح مثال، فمثلاً المتجه الذي يكون اتجاهه 30 درجة هو متجه تم تدويره بمقدار 30 درجة بعكس اتجاه عقارب الساعة بالنسبة إلى الشرق المناسب.

تطبيقات المتجهات في الحياة العملية

هناك العديد من التطبيقات الهامة للمتجهات في الحياة اليومية العملية، ومنها:^[٥]

• إيجاد اتجاه تطبيق القوة المستخدمة لتحريك الجسم بواسطة المتجهات.
• تحليل واستيعاب كيفية استخدام الجاذبية لقوة جذب جسم من أجل إتمام الشغل المبذول عليه.
• تحديد حركة الجسم المحصور في مستوى باستخدام المتجهات.
• تحديد القوة المطبقة على جسم في الأبعاد الثلاثية الرئيسية في نفس الوقت.
• استخدام المتجهات في المجالات الهندسية المختلفة.
• تستخدم المتجهات في مجال الطقس والأرصاد الجوية لمعرفة سرعة الرياح واتجاه هبوبها.
• تستخدم في تطبيقات ميكانيكا الكم، إلى جانب كونها تحتل قاعدة واسعة في النسبية العامة.
• تستخدم في تطبيقات ميكانيكا الموائع، مثل تحديد السرعة في الأنبوب من حيث تحديد المجال المتجه.
• يتم استخدام المتجهات في انتشار الموجات المختلفة مثل انتشار الموجة المتناوبة، والاهتزاز، وانتشار الصوت، وما إلى ذلك.
• تستخدم المتجهات في تطبيقات الملاحة البحرية والسفن.