تعريف المتجه المحصل

يُعرف المتجه (بالإنجليزية: Resultant Vector) بشكل عام على أنه كمية فيزيائية تُمثل بمقدار واتجاه، مثل متجهات القوة أو السرعة أو الإزاحة، فنقول إن مقدار القوة 5 نيوتن لأعلى، أو تتحرك الطائرة بسرعة 100 كم / الساعة جنوبًا، وجميع هذه المتجهات متجهات فردية (أي متجه واحد فقط). [١][٢]


لفهم معنى المتجه المحصل تخيل معي صندوق ثابت في مكانه، في هذه الحالة تؤثر عليه قوتان، القوة العمودية لأعلى وقوة الوزن لأسفل، وبجمع القوة العمودية والوزن نحصل على القوة المحصلة، أي المتجه المحصل، حيث يمكن تعريفه بمجموع متجهين أو أكثر، له قيمة سينية (الاتجاه الأيمن أو الأيسر، محور x) وقيمة صادية (الاتجاه لأعلى أو لأسفل، المحور y) عند تمثيله على المستوى الديكارتي (في حالة المتجهات ثنائية الأبعاد).[٣]




يختلف المتجه المحصل عن المتجه الفردي حيث يمثل المتجه الفردي، متجهات مثل القوة أو السرعة أو الكمية الأخرى من مصدر واحد، في حين أن المتجه الناتج هو مجموع متجهان فرديان أو أكثر.




كما تم الشرح سابقًا، يمكن التعبير عن المتجهات بالمقدار والاتجاه، والاتجاه هنا هو زاوية المتجه، ولكن قبل البدء بإيجاد المقدار والاتجاه، يجب تحليل المتجه إلى مركبته السينية، والصادية، حيث يمكن تحليل متجه ثنائي الأبعاد يسمى (A) يميل بزاوية مقدارها (θ) عن الخط الأفقي، باستخدام علم المثلثات، كما يأتي:[١][٢]






فإذا افترضنا أن هنا عدة متجهات A، B، ...، وأردنا إيجاد مقدار واتجاه (زاوية المتجه المحصل) المتجه المحصل لها r ثنائي الأبعاد، نطبق القوانين الآتية:[٢]




حيث إن:

| r |: مقدار المتجه المحصل r.

x∑: مجموع المركبات السينية للمتجه r.

y∑: مجموع المركبات الصادية للمتجه r.


يمكن إيجاد اتجاه المتجه الناتج ثنائي الأبعاد، أي زاوية المتجه الناتج مع المحور x الموجب، عن طريق أخذ الظل العكسي لناتج قسمة المركبة الصادية على السينية، عندما تكون قيمة المركبة السينية موجبة:




أما عندما تكون قيمة المركبة السينية سالبة، فيكون الاتجاه:




مثال توضيحي على إيجاد زاوية المتجه المحصل

تحركت سيارة بسرعة 50 كم / الساعة جنوبًا، ثم غيّرت سرعتها واتجاها لتصبح 100 بسرعة 50 كم / الساعة غربًا، احسب مقدار واتجاه متجه السرعة المحصلة.


الحل:

  • أولًا: نحدد المتجهات الفردية الموجودة في السؤال وهما متجهان:

الأول: متجه السرعة بمقدار 50 كم / الساعة إلى الجنوب؛ أي أنه الزاوية التي تتحرك بها 270 درجة (باعتبار الشرق محور x)، نسمي هذا المتجه s.

الثاني: متجه السرعة بمقدار 100 كم / الساعة إلى الغرب؛ أي أنه الزاوية التي تتحرك بها 180 درجة (باعتبار الشرق محور x)، نسمي هذا المتجه w.


  • ثانيًا: نحلل المتجهات إلى مركباتها السينية والصادية:

نبدأ بالمتجه s:










ثم نحلل المتجه w:











  • ثالثًا: نجد مقدار واتجاه المتجه المحصل (r) باستخدام القوانين السابقة:


المقدار:








ولأن قيمة المركبة السينية قيمة موجبة، يكون الاتجاه:







حيث تم جمع الـ 180 درجة، لأن المتجه المحصل سيقع بالضرورة بين متجهي السرعة.


وهذا يعني أن السرعة المحصلة التي تحركت بها السيارة خلال رحلتها كاملة كانت 111.8 كم / الساعة، بزاوية تميل عن الشرق بـ 243.4 درجة.

المراجع

  1. ^ أ ب "Analyzing vectors using trigonometry review", khanacademy, Retrieved 6/9/2022. Edited.
  2. ^ أ ب ت "Using Trigonometry to Work With Vectors", study, Retrieved 6/9/2022. Edited.
  3. ↑ single vector.-,The angle of the resultant vector with the positive x,of the resultant is negative. "Resultant Vector Formula and Examples", study, Retrieved 13/9/2022. Edited.