تعريف قاعدة المثلث لإيجاد حاصل ضرب متجهين
يمكن تعريف قاعدة المثلث الخاصة بجمع المتجهات بأنها من الطرق المستخدمة لإيجاد مجموع متجهين اثنين، وهي تطبّق عبر وضع رأس المتجه الأول عند ذيل المتجه الثاني، ثم ربط ذيل المتجه الأول برأس المتجه الثاني لتشكيل مثلث في النهاية، يشكّل فيه الضلع الثالث الذي تم رسمه عبر الوصل بين ذيل المتجه الأول ورأس المتجه الثاني متجهاً يمثل الناتج النهائي أو محصلة هذين المتجهين، ويجدر بالذكر هنا أن قانون المثلث لإضافة المتجهات يطلق عليه أيضاً اسم طريقة الرأس إلى الذيل لإضافة المتجهات.[١]
الصيغة الرياضية لقاعدة المثلث
إذا كان هناك متجهان هما: أ، ب، والزاوية المحصورة بينهما هي θ، والمتجه الذي يمثل محصلتهما هو ج، فإن قيمة هذا المتجه، واتجاهه ϕ يمكن حسابها عبر استخدام الصيغتين الآتيتين:[٢]
قيمة ج = (أ^2 + ب^2 + 2×أ×ب×جتاθ)√
قيمة ϕ = ظا( ( ب×جا(θ)) / (أ + ب×جتا(θ))).
أمثلة على استخدام قاعدة المثلث
إذا كان هناك متجهان هما: أ، ب، وقيمهما على التوالي هي: 7، 5، والزاوية المحصورة بينهما هي 60 درجة، والمتجه الذي يمثل محصلتهما هو ج، جد قيمة هذا المتجه، واتجاهه.[٣]
يمكن حساب قيمة المتجه ج، واتجاهه عبر استخدام الصيغتين الآتيتين:
- قيمة ج = (أ^2 + ب^2 + 2×أ×ب×جتاθ)√
- قيمة ج = (5^2 + 7^2 + 2×7×5×جتا60)√
- قيمة ج = (25 + 49 + 35)√ = 109√.
- قيمة ϕ = ظا( ( ب×جا(θ)) / (أ + ب×جتا(θ))).
- قيمة ϕ = ظا( ( 7×جا(60)) / (5 + 7×جتا(60)))
- قيمة ϕ = ظا( ( 7×0.866) / (5 + 7×0.5)) = 35.5 درجة.
إذا كان هناك متجهان هما: أ، ب، وقيمهما على التوالي هي: 4، 9، والزاوية المحصورة بينهما هي 30 درجة، والمتجه الذي يمثل محصلتهما هو ج، جد قيمة هذا المتجه، واتجاهه.[١]
يمكن حساب قيمة المتجه ج، واتجاهه عبر استخدام الصيغتين الآتيتين:
- قيمة ج = (أ^2 + ب^2 + 2×أ×ب×جتاθ)√
- قيمة ج = (4^2 + 9^2 + 2×4×9×جتا30)√
- قيمة ج = (16 + 81 + 72×3/2√)√ = 12.623.
- قيمة ϕ = ظا( ( ب×جا(θ)) / (أ + ب×جتا(θ))).
- قيمة ϕ = ظا( ( 9×جا(30)) / (4 + 9×جتا(30)))
- قيمة ϕ = ظا( ( 9×0.5) / (4 + 9×3/2√)) = 20.87 درجة.
إذا كان هناك متجهان هما: أ، ب، وقيمهما على التوالي هي: 2، 2√، والزاوية المحصورة بينهما هي θ درجة، وقيمة المتجه الذي يمثل محصلتهما هي 10√، جد قيمة الزاوية θ بين هذين المتجهين.[١]
إذا كان هناك متجهان هما: أ، ب، وقيمهما على التوالي هي: 2، 2√، والزاوية المحصورة بينهما هي θ درجة، وقيمة المتجه الذي يمثل محصلتهما هي 10√، جد قيمة الزاوية θ بين هذين المتجهين.[١]
عبر استخدام الصيغة الآتية:، وتعويض القيم المعلومة فيها:
- قيمة ج = (أ^2 + ب^2 + 2×أ×ب×جتاθ)√
- 10√ = (2^2 + 2√^2 + 2×2√×2×جتاθ)√
- 10√ = (4 + 2 + 2√4×جتاθ)√، وبتربيع الطرفين ينتج أنّ:
- 10 = 6 + 2√4×جتا(θ)، ومنه:
- 4 / 2√4 = جتا(θ)، ومنه θ = 45 درجة.
المراجع
- ^ أ ب ت ث "Triangle Law of Vector Addition", www.cuemath.com, Retrieved 13/3/2022. Edited.
- ↑ "Triangle Law of Vector Addition", byjus.com, Retrieved 13/3/2022. Edited.
- ↑ "Triangle Law of Vector Addition - Examples, FAQs", school.careers360.com, Retrieved 13/3/2022. Edited.
