تسخدم المتجهات لوصف الكثير من الكميات الفيزيائية، مثل السرعة والإزاحة والتسارع، إذ إنها جميعها متجهات ثناية الأبعاد، يمكن تحليلها إلى مركباتها أو مكوناتها السينية أو الصادية (المركبات الأفقية والرأسية) باستخدام علم المثلثات، ذلك لتبسيط العمليات الحسابية التي تُجرى باستخدامها.
تحليل المتجهات إلى مركباتها
يمكن تحليل متجه يسمى (A) يميل بزاوية مقدارها (θ) عن الخط الأفقي، باستخدام علم المثلثات، وذلك عن طريق رسم المحورين السيني (محور x) والصادي (محور y)، عند ذيل المتجه تمامًا، ومن ثم نسقط عمودًا من رأس المتجه إلى محور x، فتكون قيمة المركبة السينية ()، هي قيمة المتجه مضروبًا بجيب تمام الزاوية θ، والمركبة الصادية () هي قيمة المتجه مضروبًا بجيب الزاوية θ، كما يأتي:[١][٢]
مثال توضيحي: تيسر سيارة بسرعة 1 كم/ الساعة باتجاه 60 درجة عن الشرق، حلل مركباتها إلى المركبة السينية والصادية.
الحل:
- كما ذُكر سابقًان تعتبر السرعة من الكميات المتجهة في الفيزياء، لذلك يتم تمثيلها بمقدار واتجاه، ولتحليلها إلى مركباتها، نقوم أولًا برسم متجه السرعة المذكور، وقيمته 1 بزاوية تميل عن الخط الأفقي (إذ إن الشرق في السؤال هو الخط الأفقي، تبعًا للاتجاهات المعروفة) مقدارها 60 درجة.
- بعد رسم المتجه، نرسم المحورين السيني (محور x) والصادي (محور y) عند ذيل المتجه، ونسقط من رأسه عمودًا على محور x.
- يصبح لدينا مثلث قائم الزاوية، بحيث تكون مركبة المتجه السينية ()، هي قيمة المتجه مضروبًا بجيب تمام الزاوية، وقيمة مركبة المتجه الصادية ()، هي قيمة المتجه مضروبًا بجيب الزاوية، كالآتي:
أي أن:
أي أن:
مركبة السرعة السينية = 0.5 كم / الساعة.
مركبة السرعة الصادية = 0.886 كم / الساعة.
تحديد المقدار المحصل للمتجه
عندما نعرف المركبتين الأفقية والعمودية (السينية والصادية)، يمكننا إيجاد مقدار مجموعهما باستخدام نظرية فيثاغورس، بالرجوع إلى المثلث قائم الزاوية الذي تم رسمه في العنوان السابق، حيث يكون ضلعا المثلث قائم الزاوية هما المركبتين الأفقية والعمودية () على التوالي، ويتم حساب مقدار المتجه بمعادلة فيثاغورس الآتية:[١]
وبالرجوع إلى المثال السابق يمكننا معرفة مقداره، باستخدام مركبة السرعة السينية التي تساوي 0.5 كم / الساعة، ومركبة السرعة الصادية التي تساوي 0.886 كم / الساعة، كالآتي:
أي أن متجه السرعة يساوي 1 كم/ الساعة.
تحديد اتجاه المتجه
يمكننا أيضًا تحديد اتجاه المتجه بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الناتج عن الرسم، ويتم حساب المتجه باستخدام المركبة السينية والمركبة الصادية، حيث يعطى الاتجاه بناءً على نظرية فيثاغورس كالآتي:[١]
وتكون θ تساوي:
وبالرجوع إلى المثال السابق؛ حيث كان مركبة السرعة السينية التي تساوي 0.5 كم / الساعة، ومركبة السرعة الصادية التي تساوي 0.886 كم / الساعة، يكون حساب اتجاه المتجه، باستخدام القانون أعلاه، كالآتي:
وتكون θ:
θ = 60 درجة، وهو اتجاه سير السيارة.
أمثلة على تحليل المتجهات إلى مركباتها
فيما يلي عدة أمثلة على تحليل المتجهات إلى مركباتها:
أوجد المركبة السينية والصادية لمتجه القوة الذي مقداره 200 نيوتن، واتجاهه لأعلى.
- نقوم أولًا برسم متجه القوة، وقيمته 200 نيوتن يميل عن الخط الأفقي بزاوية مقدارها 90 درجة (الاتجاه لأعلى يعني ميلان المتجه 90 درجة عن الخط الأفقي).
- بعد رسم المتجه، نرسم المحورين السيني (محور x) والصادي (محور y) عند ذيل المتجه، ونسقط من رأسه عمودًا على محور x.
- يصبح لدينا مثلث قائم الزاوية، بحيث تكون مركبة المتجه السينية ()، هي قيمة المتجه مضروبًا بجيب تمام الزاوية، وقيمة مركبة المتجه الصادية ()، هي قيمة المتجه مضروبًا بجيب الزاوية، كالآتي:
أي أن:
مركبة القوة السينية = 0
مركبة القوة الصادية = 200 نيوتن
أوجد مقدار واتجاه متجه يسمى V، مركبته السينية تساوي 3، ومركبته الصادية تساوي 4.
يتم حساب مقدار المتجه باستخدام نظرية فيثاغورس للمثلث قائم الزاوية:
إذن مقدار المتجه V يساوي 5.
أما الاتجاه، فيتم حسابه عن طريق تطبيق القانون الآتي:
53.13 = θ درجة
المراجع
- ^ أ ب ت "Analyzing vectors using trigonometry review", khanacademy, Retrieved 6/9/2022. Edited.
- ↑ "Using Trigonometry to Work With Vectors", study, Retrieved 6/9/2022. Edited.
