جمع المتجهات
تتم عملية جمع الكميات المتجهة أو المتجهات أو طرحها؛ إما بيانيا أو رياضيًا عن طريق تحليل الكميات المتهجة إلى مركباتها، وعند جمع الكميات المتجه أو طرحها يجب مراعاة الاتجاه والمقدار، وبشكل عام يُسمى المتجه الناتج من الجمع المتجهي لمتجهات عدة (مثل: A و B و C) متجه المحصلة ويرمز له بالرمز R، وذلك حسب العلاقة الآتية:[١][٢][٣]
عند جمع متجهين متعامدين، يجب استخدام قاعدة فيثاغورس، وذلك كالآتي:
أسئلة على جمع المتجهات مع الحل
فيما يأتي أسئلة متنوعة على جمع المتجهات مع حلولها:
ما ناتج جمع المتجهين الآتيين؛ علمًا بأن طول كل واحد منهما 5 سم ويشيران باتجاه اليمين؟
طول المتجه الناتج = طول المتجه الأول + طول المتجه الثاني
طول المتجه الناتج = 5 + 5
طول المتجه الناتج = 10 سم باتجاه اليمين
أثر رجلان على عربة في الاتجاه نفسه لتحريكها باتجاه اليمين، حيث أثر الرجل الأول على العربة بقوة مقدارها 200 نيوتن، وأثر الرجل الثاني على العربة بقوة مقدارها 300 نيوتن، فما مقدار القوة المحصلة التي أثر بها الرجلان معًا على العربة؟
القوة المحصلة المؤثرة على العربة = قوة الرجل الأول + قوة الرجل الثاني
القوة المحصلة المؤثرة على العربة = 200 + 300
القوة المحصلة المؤثرة على العربة = 500 نيوتن باتجاه اليمين
تلعب سارة وأمل لعبة شد الحبل؛ فإذا علمت أن سارة تشد الحبل بقوة مقدارها 7 نيوتن باتجاه اليمين، وأمل تشد الحب بقوة مقدراها 4 نيوتن باتجاه اليسار، فإلى أي اتجاه سيتحرك الحبل؟
القوة المؤثرة على الحبل = قوة شد سارة للحبل - قوة شد أمل للحبل
القوة المؤثرة على الحبل = 7 - 4
القوة المؤثرة على الحبل= 3 نيوتن باتجاه اليمين، أي باتجاه سارة.
ما هو الحد الأعلى والحد الأدنى لجمع متجهين محددين؟
يتم الحصول على الحد الأعلى لمجموع متجهين محددين عندما يتم توجيه المتجهين في نفس الاتجاه، ويتم الحصول على الحد الأدنى لمجموع المتجهين عندما يكون المتجهين المحددين في اتجاهين متعاكسين.
هل يمكن جمع متجهين مختلفين في النوع، كأن يكون المتجه الأول متجه سرعة والمتجه الثاني متجه قوة؟
لا يمكن جمع متجهين مختلفين في النوع، إذ يشترط تطابق نوع المتجهات حتى تتم عملية جمعها، كأن تكون جمعيها متجات قوة فقط، أو جميعها متجهات سرعة فقط، وهكذا.
هل يمكن أن يكون مجموع متجهين صفر؟
نعم، إذا توافر متجهان متساويان في المقدار ويشيران في اتجاهين متعاكسين سيكون مجموعهما يساوي صفرًا.
في الصورة الآتية؛ تؤثر الفتاة الأولى على الفتاة التي تقف في المنتصف بقوة مقدارها F1= 400 نيوتن باتجاه الشرق، وتؤثر الفتاة الثانية على الفتاة التي تقف في المنتصف بقوة مقدارها F2= 400 نيوتن باتجاه الشمال، أي أن كلا الفتاتين تؤثران بقوتين متساويتين ومتعامدتين على الفتاة في المنتصف، فما مقدار القوة المحصلة المؤثرة عليها؟
مقدار القوة المحصلة=
يمشي شخص مسافة 34 متر شرقًا ثم يمشي لمسافة 36 متر بزاوية 34 درجة في اتجاه الشمال الشرقي، فما مقدار إزاحة هذا الشخص؟
المتجه r1 يدل على حركة الشخص لمسافة 34 متر باتجاه الشرق.
المتجه r2 يدل على حركة الشخص لمسافة 36 متر بزاوية 34 درجة في اتجاه الشمال الشرقي.
وعليه فإن:
r1x= 34
r2x= 36 × cos(34°) = 29.9
rx = r1x + r2x = 34 + 29.9 = 63.9
rx = 63.9
r1y = 0
r2y = 36 × sin(34°) = 20.13
ry = r1y + r2y = 0 + 20.13 = 20.13
ry= 20.13
D= 67 m
هل تعتبر عملية جمع المتجهات عملية تبادلية؟
نعم؛ تعتبر عملية جمع المتجات عملية تبادلية فحاصل جمع المتجهين A +B هو نفسه B + A.
إذا كان متجه القوة F= 5 نيوتن يشير بالاتجاه الصادي الموجب، ومتجه السرعة V1= 8 متر/ثانية باتجاه الصادي الموجب، ومتجه السرعة V2=3 متر/ثانية بنفس الاتجاه، فما مقدار واتجاه محصلة المتجهات الثلاثة؟
لا يمكن جمع متجه القوة F مع تجهي السرعة V1 و V2 لأنه مختلفٌ عنهما في النوع، أما بالنسبة لمحصلة متجه السرعة فتجمع كالآتي:
V= V1 + V2
V= 8 + 3
V= 11 m/s
المراجع
- ↑ " درس الدرس الثاني : جمع المتجهات وطرحها"، جو أكاديمي، اطّلع عليه بتاريخ 27/9/2021. بتصرّف.
- ↑ "Vector Addition", physicsclassroom, Retrieved 27/9/2021. Edited.
- ↑ "Addition And Subtraction Of Vectors", byjus, Retrieved 27/9/2021. Edited.
