شرح قاعدة متوازي الأضلاع

يمكن تعريف قانون أو قاعدة متوازي الأضلاع لإضافة المتجهات بأنه طريقة يمكن استخدامها لإيجاد مجموع متجهين، وهي تستخدم لإضافة المتجهات عندما تشكل المتجهات المراد إضافتها إلى بعضها جانبين متجاورين لمتوازي أضلاع، وذلك عبر وصل ذيلي المتجهين معاً، ليُمثل قطر متوازي الأضلاع بعد ذلك مجموع المتجهين.[١]


استخدام قاعدة متوازي الأضلاع

يمكن استخدام قاعدة متوازي الأضلاع لإيجاد محصلة متجهين عبر اتباع الخطوات الآتية:[٢]

  • رسم متجه باستخدام مقياس مناسب بحيث يكون اتجاهه مناسباً.
  • رسم متجه ثانٍ باستخدام نفس المقياس الذي تم استخدامه لرسم المتجه الأول، بحيث يتطابق ذيله مع ذيل المتجه الأول.
  • افتراض أن هذين المتجهين هما الأضلاع المتجاورة لإحدى متوازيات الأضلاع، ثم إكمال رسم متوازي الأضلاع برسم ضلعين آخرين موازيين للمتجهين اللذين تم رسمهما.
  • رسم القطر ليمثل متجه المحصلة من ناحيتي القيمة والاتجاه.


صيغ قانون متوازي الأضلاع لجمع المتجهات

إذا كان هناك متجهان هما: أ، ب، والزاوية المحصورة بينهما هي θ، والمتجه الذي يمثل محصلتهما هو ج، فإن قيمة هذا المتجه، واتجاهه β يمكن حسابها عبر استخدام الصيغتين الآتيتين:[٣]


  • قيمة ج = (أ^2 + ب^2 + 2×أ×ب×جتاθ)√
  • قيمة β = ظا( ( ب×جا(θ)) / (أ + ب×جتا(θ))).


ملاحظات:[٣]

  • إذا كان المتجهان متوازيين، فإن المتجه الناتج من جمعهما معاً يمكن تحديده عبر جمع قيمة المتجهين معاً.
  • تعطي قاعدة المثلث نتيجة مساوية لنتيجة قاعدة متوازي الأضلاع.


أمثلة على قانون متوازي الأضلاع لجمع المتجهات


السؤال:

إذا كانت هناك قوتان أ، ب، قيمهما على التوالي هي: 6 نيوتن، 10 نيوتن، والزاوية المحصورة بينهما هي 60 درجة، جد قيمة واتجاه المتجه الذي يمثل قيمة القوة المحصلة لهما.[٤]

الحل:

باستخدام صيغ قاعدة متوازي الأضلاع يمكن الحصول على قيمة واتجاه القوة المحصلة لهما كما يأتي:

  • قيمة القوة المحصلة = (أ^2 + ب^2 + 2×أ×ب×جتاθ)√ =
  • قيمة القوة المحصلة = (6^2 + 10^2 + 2×6×10×جتا60)√ = (36 + 100 + 120×جتا60)√ =196√ = 14 نيوتن.
  • قيمة β = ظا( ( ب×جا(θ)) / (أ + ب×جتا(θ)))، ومنه:
  • زاوية القوة المحصلة = ظا( ( 10×جا(60)) / (6 + 10×جتا(60)))، ومنه:
  • زاوية القوة المحصلة = ظا(3√5 / 11).





السؤال:

إذا كانت هناك متجهان أ، ب، هما على التوالي: أ = (1، 2)، ب= (2، 4)، والزاوية المحصورة بينهما هي 60 درجة، جد قيمة واتجاه المتجه الذي يمثل مجموعهما.[٣]

الحل:
  1. علينا أولاً حساب قيمة كل متجه من المتجهين، كما يأتي:
  2. المتجه أ = (1^2 + 2^2)√ = 5√، المتجه ب = (2^2 + 4^2)√ = 20√.
  3. باستخدام صيغ قاعدة متوازي الأضلاع يمكن الحصول على قيمة واتجاه متجه المحصلة لهما كما يأتي:
  4. قيمة المحصلة = (أ^2 + ب^2 + 2×أ×ب×جتاθ)√ =
  5. قيمة القوة المحصلة = (5√^2 + 20√^2 + 2×5√×20√×جتا60)√ = (5 + 20 + 10)√ =35√.
  6. قيمة β = ظا( ( ب×جا(θ)) / (أ + ب×جتا(θ)))، ومنه:
  7. زاوية القوة المحصلة = ظا( ( 20√×جا(60)) / (5√ + 20√×جتا(60)))، ومنه:
  8. زاوية القوة المحصلة = ظا(15√/5√2) =ظا(3/2√).





المراجع

  1. ↑ "Parallelogram Law of Vector Addition", www.cuemath.com, Retrieved 14/3/2022. Edited.
  2. ↑ "Parallelogram Law", byjus.com, Retrieved 14/3/2022. Edited.
  3. ^ أ ب ت "Triangle Law of Vector Addition", byjus.com, Retrieved 13/3/2022. Edited.
  4. ↑ "Parallelogram Law of Vector Addition", www.mathstopia.net, Retrieved 14/3/2022. Edited.