تعريف المتجهات وخصائصها العامة

تعتبر القوة، والزخم الخطي، والتسارع، والإزاحة، وغيرها الكثير من المصطلحات الفيزيائية من الأمثلة على المتجهات[١] التي تعتبر كمية فيزيائية لها مقدار واتجاه، ولا موقع له، ويتم تمثيلها عادة على شكل سهم يشير بنفس اتجاه الكمية الفيزيائية، ويتناسب طوله مع مقدارها،[٢] وبشكل عام تمتاز المتجهات بالخصائص العامة الآتية:[١][٣]

  • يمكن لها أن تكون في مستوى واحد، أو اثنين، أو حتى ثلاثة مستويات.
  • تتغير الكمية المتجهة عندما يتغير كل من الاتجاه والقيمة.
  • النتيجة التي يتم الحصول عليها عند إجراء العمليات الرياضية على متجهين أو أكثر هي عبارة عن متجه أيضاً.
  • يتم عادة تمييز الرمز الذي يشير إلى المتجه عبر وضع سهم صغير أعلى منه.
  • للسهم الذي يمثل المتجه عادة رأس يشير إلى نهايته، وذيل يشير إلى بدايته.
  • تستخدم المتجهات عادة لوصف حركة الأشياء.
  • يعتبر المتجهان متساويين إذا تساويا في القيمة والاتجاه.[٤]
  • المتجه السالب هو المتجه ذو الاتجاه المعاكس لاتجاه المتجه الموجب المرجعي.[٤]


خصائص جمع المتجهات

إذا كان هناك ثلاثة متجهات: أ، ب، ج، فإن خصائص الجمع المتعلقة بهما هي كالآتي:[٥]

  • أ + ب = ب + أ
  • أ+0 = أ
  • أ+ (ب + ج) = (أ + ب) +ج
  • أ + (-أ) = 0.


خصائص ضرب المتجهات

إذا كان هناك ثلاثة متجهات: أ، ب، ج، فإن خصائص الضرب المتعلقة بهما هي كالآتي:[٥]

  • ج.(أ + ب) = ج أ + ج ب.
  • أ (ب ج) = ج (أب).
  • 1 أ = أ.


خصائص ضرب المتجهات النفطي

يُعرف ضرب المتجهات النقطي بأنه إذا كان: أ = <أ1، أ2، أ3 >، ب = <ب1، ب2، ب3 >، فإنّ: أ.ب = أ1 ب1 + أ2 ب2 + أ3 ب3، وهو يمتاز بالخصائص الآتية:[٥]

  • أ.أ = |أ|
  • أ.ب = ب.أ
  • أ. (ب+ج) = أ.ب + أ.ج.
  • (أ.ج).ب = ج (أ.ب)
  • 0.أ = 0
  • أ.ب = |أ|.|ب|.جتاθ؛ حيث: θ هي الزاوية المحصورة بينهما.
  • إذا كان أ.ب = 0، فإنّ: أ = 0، أو ب=0، أو أ عمودي على ب.
  • يعتبر حاصل الضرب القياسي للمتجهين عدداً قياسياً وهو يقع في نفس مستوى المتجهين.[٦]


خصائص ضرب المتجهات الاتجاهي

يُعرف ضرب المتجهات النقطي بأنه إذا كان: أ = <أ1، أ2، أ3 >، ب = <ب1، ب2، ب3 >، فإنّ: أ×ب = أ2 ب3 - أ3ب2 ، أ3 ب1 - أ1ب3 ، أ1ب2 - أ2ب1، وهو يمتاز بالخصائص الآتية:[٥]

  • أ، ب، (أ×ب) جميعها متجهات في المتسوى ثلاثي الأبعاد.
  • |أ×ب| = |أ|.|ب|.جاθ؛ حيث: θ هي الزاوية المحصورة بينهما.
  • i×j = k
  • j×k = i
  • k×i = j
  • j×i = -k
  • k×j = -i
  • i×k = -j
  • 0 = i×i = j×j = k×k
  • إذا كان أ×ب = 0، فإنّ: أ = 0، أو ب=0، أو أ موازي لـ ب.
  • أ×ب = -أ×ب
  • (ج أ) × ب = أ × (ج ب) = ج (أ×ب)
  • أ× (ب+ ج) = أ×ب + أ×ج
  • أ. (ب+ ج) = (أ×ب).ج
  • أ×(أ×ج) = ()ج.أ)ب - (ب.أ)ج.
  • أ×ب  ب× أ
  • أ× (ب×ج)  (أ×ب)×ج
  • .يعتبر حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين متجهاً عمودياً على المستوى الذي يحتوي على هذين المتجهين.[٦]


المراجع

  1. ^ أ ب "What is a Vector?", www.vedantu.com, Retrieved 10/3/2022. Edited.
  2. ↑ "vector", www.britannica.com, Retrieved 10/3/2022. Edited.
  3. ↑ "7.1 Basic Properties of Vectors", /flexbooks.ck12.org, Retrieved 10/3/2022. Edited.
  4. ^ أ ب "20.3 Properties of vectors", www.siyavula.com, Retrieved 10/3/2022. Edited.
  5. ^ أ ب ت ث "Properties of Vector Operations", personal.math.ubc.ca, Retrieved 10/3/2022. Edited.
  6. ^ أ ب "Vectors", www.cuemath.com, Retrieved 10/3/2022. Edited.